RSS

Kategoriarkiv: Matematik

Pi-nsamt dålig matematik att hävda bibliskt fel om pi

Pi-symbol

Första gången jag hörde det här som ett argument mot Bibelns trovärdighet trodde jag att det var menat som ett skämt. Efter att nu ha hört det ett antal gånger börjar jag mer och mer förstå att det är många som faktiskt uppfattar detta som en allvarlig brist i Bibeln. Det har fått mig, som matematiklärare, att istället börja fundera över brister i matematikundervisningen här i vårt land (eller kanske är det bara bland bibelkritiker som det saknas kunskaper i matematik). Vad det handlar om är detta: Det hävdas att Bibeln hävdar att pi (π) är 3, fastän det egentliga värdet är närmare 3,14.

Men Bibeln uttalar sig aldrig om pi. Det står inte att det finns ett förhållande mellan en cirkels omkrets och diameter och att det är si eller så mycket. Däremot beskriver Bibeln en stor cirkelrund bassäng på följande sätt:

Han gjorde vidare Havet i gjutgods. Det var cirkelrunt och mätte tio alnar från kant till kant; det var fem alnar högt och 30 alnar i omkrets.
– 1 Kung 7:23 (upprepas i 2 Krön 2:4)

Visst, tar man måttet 30 och delar det med 10 så blir det 3. Men det är bara dålig matematik att klaga på att det inte blir närmare 3,14.

För det första: En sådan slutsats tyder på bristande kunskaper om betydelsen av att ta hänsyn till noggrannhet och värdesiffror i beräkningar. Man kan inte använda sig av ungefärliga och avrundade mätvärden och förvänta sig ett exakt svar. Till exempel: Om uppgiften är beräkna arean av en cirkel med den uppmätta radien 5 cm; då är ”78,539851 kvadratcentimeter” inte ett bra svar, även om det är precis vad miniräknaren visar (efter att man knappat in 5 i kvadrat gånger pi). Svaret gör nämligen anspråk på större noggrannhet än vad som anges i det ingående mätvärdet 5 cm (som kan vara avrundat från 4,51 eller 5,49). Hade det stått att radien var 5,0000000 cm istället för bara 5 cm hade det varit ‘en annan femma’. 😉 Ungefärliga mätvärden kan endast ge ungefärliga resultat. För att få ett exakt värde på pi baserat på två mätvärden (både diameter och omkrets) behövs mer exakta mätvärden.

Hur vet jag då att de mätvärden som anges i 1 Kung 7:23 (10 respektive 30 alnar) inte är tillräckligt exakta mått? Jo för att…

  • Inga decimaler anges. I Bibeln används aldrig tiondelsalnar – inte heller tredjedelsalnar eller fjärdedelsalnar. (Ibland används dock halvalnar – t ex i 2 Mos 25:10) En aln är avståndet från armbågen till långfingerspetsen – lite under en halv meter. Det finns inget praktiskt sätt att dela upp en aln i mindre enheter. Man brukade ange mindre mått i ”handsbredd” vilket förresten görs tre verser senare: ”Godset i Havet var en handsbredd tjockt”. Men jag har aldrig sett dessa två olika måttenheter kombineras, såsom man gör med fot och tum (min surfbräda är t ex 8 fot och 2 tum lång).
  • Kvoten blir inte tillräckligt nära pi. Jag vet, det var ju det som var poängen. Men man kan ju faktiskt gå bakvägen och konstatera att eftersom vi vet att pi är närmare 3,14 kan inte de ingående måtten på 10 och 30 alnar ha varit exakta (se mitt lektionstips: introduktion av talet pi där jag påstår mig veta hur noggrant mina elever har utfört sina mätningar av runda föremål).

En annan sak som gör det till dålig matematik att klaga på de uppgifter som Bibeln ger om bassängen är att man behöver mer information om föremålets geometriska form:

  • När det gäller formen betraktat uppifrån tror jag inte att det finns något som kan ursäkta ett inexakt värde på pi. Hade den varit smått oval är det en sak, men det står att bassängen var cirkelrund. Då det är lätt att med enkla redskap kontrollera om ett föremål är en perfekt cirkel – och då detta inte var vilken bassäng som helst utan en som skulle användas till heliga ceremonier – antar jag att den faktiskt var ‘perfekt’ cirkelrund.
  • Men hur var det då med formen betraktat från sidan. Var bassängen formad som en cylinder, eller var den smalare nedtill än upptill? Det skulle förstås ha viss inverkan, för då blir det genast relevant att veta om måtten ens hämtades från samma höjd. Texten ger faktiskt ett tydligt svar på frågan om formen. Några verser senare står det nämligen att ”kanten var formad som kanten på en bägare, lik kalken av en lotusblomma” (Bibel 2000) eller ”liknade en utslagen lilja” (Folkbibeln). Alltså var bassängens diameter större allra högst upp vid ”kanten”. Och var mättes diametern? Vid kanten! (”tio alnar från kant till kant”) Då är frågan hur man mätte omkretsen. I Bibel 2000 står det bara att den var ”30 alnar i omkrets”, men mer ordagrant (i den hebreiska grundtexten) står det ”ett 30 alnar långt snöre nådde runt det”, vilket avslöjar mer om hur detta mått uppmättes (samt att det verkligen rörde sig om ett uppmätt värde och inte ett som härletts från diametern). Med den här formen skulle det vara rätt svårt att spänna ett snöre allra högst upp vid kanten. Snöret – som ju måste vara helt spänt – skulle vilja glida ner till en punkt där bassängens kanter inte längre kurvade sig. Kanske mättes alltså inte diametern och omkretsen på samma höjd. I alla fall tror jag inte att omkretsen mättes högst upp, men det är mycket möjligt att diametern mättes nedanför kanten.

Hade syftet med mätningen varit att undersöka förhållandet mellan en cirkels diameter och omkrets, och hade syftet med dess nedtecknande varit att göra en antik handbok i matematik, då hade det förstås varit viktigt att hålla reda på det i redovisningen. Jag skulle ha påpekat för mina elever (se mitt lektionstips: introduktion av talet pi), att de måste mäta diametern och omkretsen på samma höjd för att få ett riktigt värde på pi. Men syftet med texten är uppenbarligen ett annat: Att beskriva utseendet på dessa föremål som tillverkades för att använda templet. För att få en bild av hur stort ett runt föremål är, är det intressant att höra både diametern och omkretsen.

Att utifrån texten förutsätta att måtten 10 respektive 30 alnar är uppmätta vid samma höjd och att bassängen var formad som en cylinder är helt enkelt dålig matematik, särskilt med tanke på att det klart och tydligt står i texten att formen var krökt upptill.

Sammanfattningsvis…

Vi har ett föremål med de (troligen) avrundade måtten 10 alnar respektive 30 alnar. De egentliga måtten skulle kunna vara allt från 9,5 till 10,49… respektive allt från 29,5 till 30,49…. Till exempel kan det ha varit 9,65 och 30,30, vilket skulle ge pi ett mer korrekt värde. Vi har även en uppmätt diameter som eventuellt är inkompatibel med omkretsen. Det gör att vi till och med – för exemplets skull – skulle kunna anta att 10 och 30 är exakta mått. Om omkretsen var exakt 30 alnar, och vi delar det med 3,14 får vi diametern 9,55 alnar. Mellanskillnaden 0,45 alnar är då ett mått på hur mycket de bägarformade kanterna sticker ut (delat på två eftersom det sticker ut på båda sidor). I så fall stack kanterna ut ca 10 centimeter. Det finns alltså flera olika parametrar som påverkar och gör det svårt att dra några slutsatser om ett bibliskt värde för pi. Att inte ta hänsyn till dessa – och hävda att Bibeln har fel om pi – är alltså bara dålig matematik.

Som en sista upplysande poäng kan nämnas att än om Bibeln hade sagt rakt ut att ”förhållandet mellan en cirkels diameter och omkrets är lika med 3” så hade man faktiskt inte kunnat säga att det var fel. Man skulle kunna klaga på att det vore en mindre exakt approximation av pi, men inte att den var fel. I vissa sammanhang skulle även den så populära approximationen 3,14 vara förfärligt oexakt. Inte ens 3,14159265358979323846 är exakt, eftersom pi är ett irrationellt tal med oändlig decimalutveckling. Det går således inte att nedteckna ett exakt värde på pi. Om vi skulle kräva att Gud genom inspiration skulle ha sett till att ett exakt värde på pi nedtecknades i Bibeln, skulle den stackars författaren skriva än idag. 🙂

Länka gärna hit om ni stöter på någon som med samma dåliga matematik till varje pris vill hävda att Bibeln har fel. De får allt ta och hitta sina fel någon annanstans. (Pi-ng till AteistBibeln som tagit upp detta hela 1, 2, 3 gånger i sitt uppslagsverk över ”tokiga bibelord”, och till en Niclas Karlsson som proklamerar att Pi bevisar att Bibeln har fel. ”Fel, fel, fel.” samt hävdar att detta fel är omöjligt att försvara.)

 

Lektionstips: Introduktion av talet pi

Jag satt och skulle beskriva en matematiklektion för en vikarie. Då kom jag på att jag skulle kunna slå två flugor i en smäll, och samtidigt besvara en pi-nsamt populär invändning mot Bibeln. Den biten kommer huvudsakligen i ett separat inlägg. Här kommer först ett lektionstips. Så här brukar jag introducera talet pi (π) för mina elever:

Först går jag kort igenom begreppen diameter och omkrets. Sedan ger jag eleverna i uppdrag att gå runt på skolan med måttband i hand och mäta alla runda saker de hittar, med uppmaningen ”Mät noga!” De antecknar diametern och omkretsen på varje föremål, och redovisar sedan dessa mätvärden för mig. De måste använda rätt begrepp och alltså säga ”Omkretsen var … och diametern var …” Om någon råkar säga dem i omvänd ordning blir det bara ett utmärkt tillfälle att diskutera om diametern verkligen kan vara längre än omkretsen. 🙂 Än så länge tror eleverna att det hela går ut på att lära sig begreppen omkrets och diameter. Och den biten brukar faktiskt sitta ganska bra när vi har kommit så långt.

Medan de läser upp värdena matar jag in det i ett kalkylprogam (som Numbers, Excel eller Calc – se bilden). Allt projiceras på en skärm så att eleverna också kan se och följa med.

När alla har redovisat sina mätvärden frågar jag om de kom ihåg att mäta noga? Vi diskuterar mätvärdena och uppmärksammar om det är någon som har använt halva centimetrar eller till och med tiondelar (millimetrar). Att lampan var 100 cm i omkrets, betydde det att den var exakt hundra eller är det avrundat? Ibland kommer de redan i det här läget på saker som kan ha blivit fel, t ex att måttbandet kanske inte var ordentligt sträckt. Ibland är det svårt att mäta omkretsen (på hål eller platta föremål), och ibland är det svårt att mäta diametern. (Eftersom mittpunkten kan vara svår att hitta brukar jag ge rådet att mäta där det är som längst – men även det kan ju vara lite knepigt,)

Efter ett tag släpper jag bomben och säger att jag ska kontrollera hur noggrant de har utfört sina mätningar. ”Vadå? Ska du gå runt och kontrollmäta alltihop?” brukar någon fråga. ”Nej, det behöver jag inte göra” påstår jag, och matar sedan in en formel i en tom ruta längst upp till höger i tabellen. Värdet i O-kolumnen delas med värdet i d-kolumnen. (Det kan se ut så här: ”=B2/B3” … Det enklaste sättet att mata in det är dock att först skriva ett likhetstecken, klicka på cellen i O-kolumnen på samma rad, skriva ett divisionstecknet ”/”, klicka på cellen i d-kolumnen på samma rad, och trycka på enter/retur.) Sedan kopierar jag cellens innehåll hela vägen ner. (Markera cellen och dra i den lilla bollen eller kvadraten som dyker upp längst ner till höger i cellen.) Till sist sorterar jag hela tabellen (fallande) efter värdena i den nya kolumnen. (Det brukar dyka upp en pil med en rullista högst upp i kolumnen. Om man inte hittar den funktionen så gör det inget. Det går att fortsätta utan sortering.) Med viss vana tar proceduren knappt tio sekunder, men man bör ju helst förklara vad man gör också. 😉

”Aha! Jag ser här att de som mätte den stora skålen gjorde den mest exakta mätningen.” Då följer förstås en intressant diskussion om hur man kan se det. Det är då jag förklarar att om man har en perfekt cirkel – och mäter riktigt noga – så kommer kvoten av omkretsen och diametern att komma väldigt nära ett visst ”magiskt tal”. Det talet kallas pi (efter den grekiska bokstaven π), och är … *trumvirvel* … trekommafjortonfemton-niotvåsex-femtrefem-åttioniosjuttinio-tretvåtre-åttafyrasex… och så vidare, så långt man minns. (Se mitt inlägg om pi-dagen för tips om hur man kan memorera decimaler på pi. Där finns även en rolig musikvideo om ”[Vem kan flest] decimaler på pi”, som man kan visa för klassen. Det brukar bli en hit, som de minns länge.)

Förutom att man förstås ska fortsätta berätta om talet pi, som förhållandet mellan omkretsen och diametern, så finns det ett par extra lärdomar från själva undersökningen som kan vara värda att lyfta fram. Förutom att man måste mäta noggrant, så funkar det bäst om:

  • Föremålet är helt cirkelrunt (inte det minsta ovalt)
  • Man mäter diametern och omkretsen på samma ställe (om det t ex är en papperskorg som är bredare högst upp där man mäter diametern, så går det inte an att mäta omkretsen mitt på)

Om det finns tid och intresse kan man göra om undersökningen och se om det går bättre andra gången. Och med ”bättre” menar jag förstås ”närmare pi”. 😀

 
5 kommentarer

Publicerat av på 27 november, 2012 i Matematik

 

Hur gammal är jag?

Rätt svar är att jag nu är 100000 år gammal. Jag kommer att vara dubbelt så gammal nästa gång jag ”nollar”, och sist det hände hade jag nyligen börjat gymnasiet. Bara 1 av 10 sorters människor förstår hur jag räknar. Om du tillhör den andra sorten så är det inget att bekymra sig för. 😉 (Psst… i det här inlägget finner du några ledtrådar.)

Men nu är det som så att jag har några vänner som immigrerat från helt andra regioner i galaxen. Att döma av vad de skrev på gratulationskorten var de inte alls överens om hur min ålder skulle skrivas.
Min fråga är: Hur många fingrar har de?

A: ”Grattis på 200-års-dagen!” – önskar Alf från Alfa Centauri”

B: ”Grattis på 40-års-dagen!” – önskar Bettan från Betelgeuse”

C: ”Grattis på 20-års-dagen!” – önskar Carl från Capella”

D: ”Grattis på 28-års-dagen! – önskar Dennis från Deneb”

E: ”Grattis på 52-års-dagen! – önskar Ellen från Elnath”

F: ”Grattis på 1N-års-dagen! – önskar Sir Fumble-a-lot från Fomalhaut” 😀

Svara så här: ”Alf har x fingrar.”
OBS! Varje person som kommenterar får bara svara på en av dem.

 
2 kommentarer

Publicerat av på 19 oktober, 2012 i Klurigt, Matematik

 

Dra ifrån 1 när du räknar bort 0

Att det aldrig fanns något år noll (se Föddes Jesus år noll?) får konsekvenser vid beräkning av tidsrymder som börjar före år 1 e Kr. Se här:

Om Jesus föddes samma år som kung Herodes dog (år 4 f Kr) och påbörjade sin offentliga verksamhet år 27 e Kr, hur gammal var han då?

27 – (- 4) = 27 + 4 = 31 år

Men vänta lite nu… Om det inte fanns något år noll – om år 1 f Kr följdes direkt av år 1 e Kr – då har vi räknat med ett år för mycket. I så fall är det rätta svaret att Jesus var 30 år!

Och ser man på! Lukas uppger att: ”Jesus var omkring trettio år när han först trädde fram.” (Luk 3:23)

Note: Jag tror inte att Lukas, som gjorde en grundlig research och förmodligen intervjuade Jesus mor, skrev ”omkring trettio år” för att han var osäker på när Jesus föddes. Jag tror han helt enkelt menade att trettio var närmaste heltal. (Se här hur Lukas annars använde ordet hosei framför räkneord.) Hursomhelst ger oss detta en fingervisning om att det inte gick särskilt lång tid från att Jesus föddes till att Herodes dog, särskilt inte om Jesus trädde fram först år 29 e Kr (en vanlig datering). T ex: Om Jesus föddes redan år 7 f Kr och trädde fram först år 29 e Kr leder det till att Jesus var 35 år gammal, och det tycker jag inte riktigt är ”omkring trettio”.

 
1 kommentar

Publicerat av på 28 augusti, 2012 i Historia, Jesus, Matematik

 

Biiiologiska superdatorer

Humlor löser svåra matematiska problem

Har du någon gång betraktat en humla när den flyger från blomma till blomma i jakt på nektar? Man får lätt känslan att humlans flykt är totalt planlös, men forskare har visat att dessa små varelser faktiskt planerar sin flygrutt på ett mycket effektivt sätt. Det har länge varit känt att en del djur, t ex bin och kolibrier, besöker redan kända blommor i en viss ordning. De åker inte bara omkring slumpmässigt till närmaste blomma, utan har koll på vilka blommor som redan har besökts och verkar följa en på förhand uttänkt rutt.

Mörk jordhumla med inbyggd superdator (Bild: M. Betley, Wikipedia)

 

Forskare vid Queen Mary University i London har upptäckt att deras planering är ännu mer avancerad än så. Med hjälp av konstgjorda blommor utplacerade i ett rum med landmärken för navigering undersöker forskarna hur humlor av arten Bombus terrestris (mörk jordhumla) utvecklar sina flygplaner. När humlan kommer fram till en blomma belönas den med en sockerlösning. Besöket registreras och blommorna kan sedan ”laddas om” (med hjälp av en fjärrstyrd mekanism för att inte humlorna ska störas av att någon människa går omkring i rummet). Ordningen i vilken de besöker blommorna förändras med tiden. Till en början följer humlorna en rutt som stämmer överens med i vilken ordning blommorna upptäcktes, men sedan börjar de anpassa flygplanen så att flygsträckan till slut blir så kort som möjligt. Read the rest of this entry »

 
242 kommentarer

Publicerat av på 18 april, 2012 i Matematik, Växter och djur

 

Etiketter: , , , , , ,

Bättre matematik med abakus?

I mitt inlägg Sverige behöver udda lärare använde jag en abakus-såld matematiklärare som exempel för att illustrera att man som lärare faktiskt får inkludera moment och arbetssätt i undervisningen även om de inte uttryckligen nämnts i kursplanerna.

Eller tänk dig en matematiklärare som är övertygad om att en abakus är ett mycket bättre hjälpmedel för eleverna än en miniräknare. Kursplanen i matematik (för grundskolan) nämner miniräknare ett par gånger, men det står inte ett ord om kulramar. Begår läraren tjänstefel genom att använda abakus i undervisningen?

Detta var en respons på ett av de tidigaste motargumenten som dök upp när jag började skriva om skapelsetro i skolan: Ordet skapelsetro står inte i kursplanerna, alltså får man inte undervisa om det.

Jag fick kritik (surprise?) för mitt inlägg om att Sverige behöver udda lärare som mig. Kören ryckte in igen med en ny klagovisa i sin repertoar: Hur udda lärare behöver Sverige? (Jag länkar inte till alla ställen där exakt samma inlägg publicerats, utan nöjer mig med vof-länken). Kritiken är omfattande och jag får besvara den senare. En sak som jag inte hade väntat mig att någon skulle ha synpunkter på var just detta med abakus som hjälpmedel i matematikundervisningen. Enligt kören är nämligen abakusar bara användbara för historisk tillbakablick och ”för vissa grupper av elever, med vissa former av neuropsykiatriska diagnoser”. Read the rest of this entry »

 
23 kommentarer

Publicerat av på 24 mars, 2012 i Matematik, Skapelsetro i skolan

 

Etiketter: , , , ,

Grattis på pi-dagen!

Den här dagen är tillägnad talet pi (π) eftersom det är den 14 mars (03-14) och för att pi brukar approximeras till 3,14.

I engelsktalande länder brukar man fira dagen med att äta paj, vilket passar dubbelt bra: Förutom att pi uttalas som pie, så är PIE precis vad du får om du läser talet 3,14 spegelvänt.

Men som sagt är 3,14 bara en approximation. Det finns många många fler decimaler. Archimedes fann att dess värde ligger mellan 223/71 och 22/7. Eftersom 22/7 är en mer exakt approximation av pi hade det egentligen passat bättre att fira pi-dagen den 22 juli. Men 3,14 är ju mycket mer känt i vår digitala tid.

Pi är ett irrationellt tal, vilket betyder att det faktiskt har oändligt många decimaler och att det inte upprepar sig periodiskt. Det har blivit en sport att memorera så många decimaler som möjligt. Världsrekordet innehas för närvarande av Chao Lu från Kina, som ur minnet korrekt räknade upp 67 890 decimaler på pi. Se här hur Soran Ismail gör ett imponerande försök som dock inte ens är i närheten. Bästa svensk heter annars Daniel Stridsman.

Om jag ska ha en chans mot dessa skulle jag nog behöva studera en hel del pifiologi (ett halvseriöst ämnesområde som handlar om olika minnesregler för att lära sig så många decimaler som möjligt). Här är ett exempel på en sådan minnesramsa där antalet bokstäver i varje ord representerar en siffra (3,14159265358979323846):

Pie
I wish I could determine pi
Eureka, cried the great inventor
Christmas pudding, Christmas pie
Is the problem’s very center.

Några vänner till mig har gjort denna musikvideo av Matte Matiks fenomenala låt
[Vem kan flest] Decimaler på pi:

”Den som kan flest decimaler när han dör – vinner!” Ja, det är väl bara att sätta igång att träna då. 😀
Här finns en sida från Linköpings universitet med 50 000 decimaler. När du kan alla dem är det bara 17 891 decimaler kvar till världsrekordet.

Förresten: Vad är volymen av en pizza med radien z och tjockleken a?

 
8 kommentarer

Publicerat av på 14 mars, 2012 i Låtar, Matematik

 

Etiketter: